El hombre anumérico (2 page)
Para captar el chiste hace falta tener una idea de qué cantidades o qué lapsos de tiempo son adecuados a cada contexto. Por el mismo motivo, un patinazo entre millones y miles de millones, o entre miles de millones y billones debería hacernos reír también, y en cambio no es así, pues demasiado a menudo carecemos de una idea intuitiva de tales números. La comprensión que muchas personas cultas tienen de ellos es mínima, ni siquiera son conscientes de que un millón es 1.000.000, que mil millones es 1.000.000.000 y que un billón es 1.000.000.000.000.
En un estudio reciente, los doctores Kronlund y Phillips, de la Universidad de Washington, demostraban que la mayoría de apreciaciones de los médicos acerca de los riesgos de distintas operaciones, tratamientos y mediciones eran completamente erróneas (incluso en sus propias especialidades), y a menudo el error era de varios órdenes de magnitud. En cierta ocasión tuve una conversación con un médico que, en un intervalo de unos veinte minutos, llegó a afirmar que cierto tratamiento que estaba considerando: a) presentaba un riesgo de uno en un millón; b) era seguro al 99%; y c) normalmente salía a la perfección. Dado que hay tantos médicos que piensan que por lo menos ha de haber once personas en la sala de espera para que ellos no estén mano sobre mano, esta nueva muestra de su anumerismo no me sorprende lo más mínimo.
Para tratar con números muy grandes o muy pequeños, la notación científica suele resultar a menudo más fácil y clara que la normal, y por tanto echaré mano de ella algunas veces. La cosa no encierra gran dificultad. 10
N
representa un 1 seguido de N ceros, así 10
4
es 10.000 y 10
9
son mil millones. 10
-N
quiere decir 1 dividido por 10
N
, así por ejemplo, 10
-4
es 1 dividido entre 10.000 ó 0,0001 y 10
-2
es una centésima. 4 × 10
6
es 4 × 1.000.000 ó 4.000.000; 5,3 × 10
8
significa 5,3 × 100.000.000 ó 530.000.000; 2 × 10
-3
es 2 × 1/1.000 ó 0,002; 3,4 × 10
-7
significa 3,4 × 1/10.000.000 ó 0,00000034.
¿Por qué las revistas o los diarios no utilizan en sus relatos esta notación científica? No es ni con mucho tan misteriosa como muchos de los temas de que tratan esas publicaciones y resulta bastante más útil que el fracasado-cambio al sistema decimal sobre el que se han escrito tantos artículos pesados. La expresión 7,39842 × 10
10
es más legible y más fácilmente comprensible que setenta y tres mil novecientos ochenta y cuatro millones doscientos mil.
En notación científica, las respuestas a las preguntas que planteé al principio son las siguientes: el cabello humano crece aproximadamente a razón de 1,6 × 10
-8
kilómetros por hora; cada día mueren en la tierra unas 2,5 × 10
5
personas y cada año se fuman aproximadamente 5 × 10
11
cigarrillos en los Estados Unidos. Las expresiones de estos números en notación común son: 0,000000016 kilómetros por hora, 250.000 personas y 500.000.000.000 cigarrillos.
Sangre, montañas y hamburguesas
En una columna sobre anumerismo en
Scientific American
, el informático Douglas Hofstadter cita el caso de la Ideal Toy Company, que en el envoltorio del cubo de Rubik afirmaba que el cubo admitía más de tres mil millones de configuraciones distintas. Si uno lo calcula, obtiene que las configuraciones posibles son más de 4 × 10
19
, un 4 seguido de 19 ceros. La frase del envoltorio es cierta, las configuraciones posibles son, en efecto, más de tres mil millones. La subestimación que supone esa cifra es, sin embargo, un síntoma de un omnipresente anumerismo que encaja muy mal en una sociedad tecnológicamente avanzada. Es como si en la entrada del Lincoln Túnel hubiera un rótulo anunciando: Nueva York, más de 6 habitantes; o como si McDonald se vanagloriara de haber vendido más de 120 hamburguesas.
El número de 4 × 10
19
no es lo que se dice frecuente, pero sí lo son cifras como diez mil, un millón o un billón. Para poder establecer comparaciones rápidamente, deberíamos disponer de ejemplos de conjuntos que constarán de un millón de elementos, de mil millones, etc. Por ejemplo, saber que un millón de segundos sólo duran aproximadamente once días y medio, mientras que para que pasen mil millones de segundos hay que esperar casi 32 años, nos permite formarnos una idea más clara de la magnitud relativa de dichos números. ¿Y los billones? La edad del homo sapiens moderno es probablemente menor que 10 billones de segundos, y la total desaparición de la variante Neanderthal del primitivo homo sapiens ocurrió hace sólo un billón de segundos. La agricultura apareció hace unos 300 mil millones de segundos (diez mil años), la escritura hace unos 150 mil millones de segundos, y tenemos música rock desde hace tan sólo unos mil millones de segundos.
Otras fuentes más comunes de números grandes son el billón de dólares del presupuesto federal y nuestra creciente reserva de armamento. Dado que los Estados Unidos tienen unos 250 millones de habitantes, cada mil millones de dólares del presupuesto federal representa una carga de 4 dólares por cada norteamericano. Por tanto, un presupuesto anual de defensa de casi un tercio de billón de dólares significa aproximadamente 5.000 dólares anuales por cada familia de cuatro personas. ¿En qué se ha invertido este dineral (nuestro y suyo) al cabo de los años? El equivalente de TNT de todas las armas nucleares del mundo es de unos 25.000 megatones, 25 billones de kilos, que significan unos 5.000 kilos por cada persona humana del planeta. (A propósito, medio kilo basta para destruir un coche y matar a todos sus ocupantes.) Las armas nucleares que puede llevar un solo submarino Trident tienen un poder explosivo ocho veces mayor que el empleado en toda la segunda guerra mundial.
Pasemos ahora a citar ejemplos más alegres de números pequeños. El modelo que suelo tomar para el humilde millar es una sección del Veterans Stadium de Filadelfia, que sé que tiene 1.008 asientos, y que uno puede representarse fácilmente. La pared norte de un garaje que hay cerca de mi casa tiene casi exactamente diez mil ladrillos. Para cien mil, suelo pensar en el número de palabras de una novela un poco gruesa.
Para hacerse una idea de la magnitud de los números grandes es útil proponer una o dos colecciones como las anteriores para cada potencia de diez, hasta la decimotercera o la decimocuarta. Y cuanto más personales sean, mejor. También es bueno practicar haciendo estimaciones de cualquier cantidad que pueda picarnos la curiosidad: ¿Cuántas pizzas se consumen anualmente en los Estados Unidos? ¿Cuántas palabras lleva uno dichas a lo largo de su vida? ¿Cuántos nombres de persona distintos salen cada año en el
New York Times
? ¿Cuántas sandías cabrían en el Capitolio?
Calculad aproximadamente cuántos coitos se practican diariamente en el mundo. ¿Varía mucho este número de un día a otro? Estimad el número de seres humanos en potencia, a partir de todos los óvulos y espermatozoides que han existido, y encontraréis que los que han convertido esta potencia en acto son, contra toda probabilidad, increíblemente afortunados.
En general estos cálculos son muy fáciles y a menudo resultan sugerentes. Por ejemplo: ¿Cuál es el volumen total de la sangre humana existente en el mundo? El macho adulto medio tiene unos cinco litros de sangre, la hembra adulta un poco menos, y los niños bastante menos. Así, si calculamos que en promedio cada uno de los 5 mil millones de habitantes de la tierra tiene unos cuatro litros de sangre, llegamos a que hay unos 20 mil millones (2 × 10
10
) de litros de sangre humana. Como en cada metro cúbico caben 1.000 litros, hay aproximadamente 2 × 10
7
metros cúbicos de sangre. La raíz cúbica de 2 × 10
7
es 270. Por tanto, ¡toda la sangre del mundo cabría en un cubo de unos 270 metros de largo, un poco más de un dieciseisavo de kilómetro cúbico!
El área del Central Park de Nueva York es de hectáreas, esto es unos 3,34 kilómetros cuadrados. Si lo rodeáramos con una pared, toda la sangre del mundo sólo alcanzaría para llenarlo hasta una altura de unos seis metros. El Mar Muerto, situado en la frontera entre Israel y Jordania, tiene una superficie de unos 1.000 kilómetros cuadrados. Si vertiéramos toda la sangre del mundo en el Mar Muerto, sus aguas sólo subirían dos centímetros. Estas cifras resultan del todo sorprendentes, incluso fuera de su contexto: ¡no hay tanta sangre en el mundo! Si comparamos su volumen con el de toda la hierba, todas las hojas o todas las algas del mundo, queda clarísima la posición marginal del hombre entre las demás formas de vida, por lo menos en lo que a volumen se refiere.
Cambiemos por un momento de dimensiones y consideremos la relación entre la velocidad supersónica del Concorde, que va a unos 3.000 kilómetros por hora, y la del caracol, que se desplaza a unos 7,5 metros por hora, es decir, a 0,0075 kilómetros por hora. La velocidad del Concorde es unas 400.000 veces mayor que la del caracol. Más impresionante aún es la relación entre la velocidad con que un ordenador medio suma diez dígitos y la de un calculador humano. El ordenador lo hace más de un millón de veces más rápido que nosotros que, con nuestras limitaciones, nos parecemos un poco al caracol. Para los superordenadores la relación es de mil millones.
Y para terminar daremos otro ejemplo de cálculo terrenal que suele usar un asesor científico del MIT para eliminar aspirantes en las entrevistas de selección de personal: pregunta cuánto se tardaría en hacer desaparecer una montaña aislada, como el Fujiyama japonés por ejemplo, transportándola con camiones. Supóngase que, durante todo el día, llega un camión cada 15 minutos, es cargado instantáneamente de tierra y piedras, y se va sin interrumpir al siguiente camión. Daremos la respuesta más adelante, anticipando que el resultado es un tanto sorprendente.
Los números colosales y los 400 de Forbes
El tema de los cambios de escala ha sido uno de los pilares de la literatura mundial, desde la Biblia hasta los liliputienses de Swift, y desde Paul Bunyan hasta el colosal Gargantúa de Rabelais. Siempre me ha chocado, sin embargo, la inconsistencia que han mostrado los distintos autores en su empleo de los números grandes.
Se dice que el niño Gargantúa se tomaba la leche de 17.913 vacas. De joven fue a estudiar a París montado en una yegua que abultaba como seis elefantes y llevaba colgadas del cuello las campanas de Nôtre Dame a modo de cascabeles. En el camino de vuelta a casa, fue atacado a cañonazos desde un castillo y se sacó las bombas del pelo con un rastrillo de 300 metros de longitud. Para hacerse una ensalada cortaba lechugas del tamaño de un nogal y devoraba media docena de peregrinos que se habían refugiado en la arboleda. ¿Pueden apreciar las inconsistencias internas de este cuento?
El Génesis dice que durante el Diluvio «quedaron cubiertos todos los montes sobre la faz de la tierra». Si se toma esto literalmente, resulta que la capa de agua sobre la tierra tendría entre 5.000 ó 6.000 metros de grosor, lo que equivale a más de 2.500 millones de kilómetros cúbicos de agua. Como según el relato bíblico del Diluvio duró 40 días con sus noches, es decir sólo 960 horas, la tasa de caída de la lluvia ha de haber sido por lo menos de cinco metros por hora, suficiente para echar a pique un avión y con mayor motivo un arca cargada con miles de animales a bordo.
Darse cuenta de inconsistencias internas como ésas es uno de los placeres menores de tener cierta cultura numérica. Lo importante, sin embargo, no es que uno esté analizando permanentemente la consistencia y la plausibilidad de los números, sino que, cuando haga falta, pueda recoger información de los puros datos numéricos, y que pueda refutar afirmaciones, basándose sólo en las cifras que las acompañan. Si la gente estuviera más capacitada para hacer estimaciones y cálculos sencillos, se sacarían (o no) muchas conclusiones obvias, y no se tendrían en consideración tantas opiniones ridículas.
Antes de volver a Rabelais, consideraremos dos alambres colgantes con la misma sección transversal. (Seguro que es la primera vez que se imprime esta frase.) Las fuerzas que actúan sobre los alambres son proporcionales a sus masas y éstas son proporcionales a sus respectivas longitudes. Como las áreas de las secciones transversales de los alambres son iguales, la tensión de cada uno, la fuerza dividida por el área de la sección transversal, varía en proporción directa a la longitud del alambre. Un alambre diez veces más largo que otro soportará una tensión diez veces mayor. Con un razonamiento análogo se demuestra que de dos puentes geométricamente semejantes, hechos del mismo material, el más débil es necesariamente el mayor.
Por la misma razón, no se puede aumentar de escala un hombre desde unos dos metros hasta diez. Al multiplicar por cinco la altura, su peso aumentará en un factor 5
3
, mientras que su capacidad para sostener peso dada por el área de la sección transversal de sus huesos aumentará sólo en un factor 5
2
. Los elefantes son grandes, a costa de tener unas patas muy gruesas, mientras que las ballenas son relativamente inmunes a este efecto por estar sumergidas en el agua.
Aunque en la mayoría de situaciones los aumentos y disminuciones de escala dan primeras aproximaciones razonablemente buenas, a menudo dan malos resultados, como lo prueban muchos ejemplos mundanos. Que el precio del pan suba un 6% no significa que los yates vayan a subir también un 6%. Si una empresa crece hasta un tamaño veinte veces mayor que el que tenía al empezar, las proporciones relativas a sus distintos departamentos no tienen por qué seguir siendo las mismas. Si la ingestión de mil gramos de cierta sustancia hace que una de cada cien ratas contraiga cáncer, no podemos concluir inmediatamente que la ingestión de sólo cien gramos hará que lo contraiga una de cada mil ratas.
En cierta ocasión escribí a una minoría importante de los 400 de Forbes, una lista de los cuatrocientos norteamericanos más ricos, pidiéndoles 25.000 dólares como subvención a un proyecto en el que estaba trabajando en aquel tiempo. La fortuna media de las personas con las que me puse en contacto era aproximadamente de unos 400 millones de dólares (4 × 10
8
, un número de dólares verdaderamente colosal) y yo sólo pedía 1/16.000 de esta cantidad. Tenía la esperanza de que la proporcionalidad lineal valdría también en este caso, y me animaba pensando que si algún extraño me escribiera pidiendo una ayuda para un proyecto interesante y me solicitara 25 dólares, mucho más de 1/16.000 de mi propia fortuna, probablemente le contestaría afirmativamente. Pero ¡ay!, aunque recibí bastantes respuestas amables, no conseguí ni cinco.