Borges y la Matemática (3 page)

A la fracción 3/1 le asigno el número 5.

A la fracción 3/2 le asigno el número 6, etc.

El recorrido avanza por diagonales cada vez más largas y barre de esa manera todas las filas y todas las columnas. A medida que avanzo me aseguro de que voy numerando a todos los números fraccionarios y paso por encima, simplemente salteo, a las fracciones que se repiten y que ya numeré, como 3/3, o 2/4. ¿Qué se demuestra con esto? Que a pesar de que el infinito de los números fraccionarios parece más apretado, hay «tantos» números fraccionarios como números naturales. Más aún, con esta enumeración se le puede dar un orden consecutivo a los números fraccionarios, un orden, por supuesto, distinto del que tienen en la recta, pero que permite explicar la enumeración de páginas en el Libro de Arena. Esto es algo que posiblemente Borges no supiera. La numeración de páginas que a Borges en el cuento le parece misteriosa y a la que le atribuye una razón también misteriosa, en principio no tiene ningún misterio. No hay contradicción entre el hecho de que entre dos hojas del Libro de Arena siempre hay otra intercalada con el hecho de que cada hoja pueda tener un número: el mismo habilidoso imprentero que pudo coser las infinitas páginas del Libro de Arena pudo también perfectamente numerarlas tal como lo estamos haciendo nosotros.

A los matemáticos y también a Borges, les gusta exprimir las ideas, repetirlas, sacarles todo el partido posible. Ahora que tengo este cuadro no me resisto a usarlo una vez más para otro tema recurrente en Borges que es el tema de los lenguajes, tal como está presente, por ejemplo, en
La biblioteca de Babel
.

Pensemos un momento en la idea de
La biblioteca de Babel
, una biblioteca de libros no necesariamente inteligibles, una biblioteca absoluta cuya ley fundamental es: «basta que un libro sea posible para que exista». Borges fija un alfabeto de veinticinco símbolos; pero nosotros, para darnos todavía más libertad, pensaremos en libros escritos en todos los idiomas posibles y haremos una sola lista, un alfabeto universal, reuniendo todos los signos de todos los alfabetos existentes. Empezamos con los veinticinco símbolos ortográficos que menciona Borges (y de este modo nos aseguramos de que todos los libros de la Biblioteca de Babel estén también en nuestros anaqueles). Proseguimos con los veintisiete símbolos del alfabeto castellano. Agregamos como nuevos símbolos las cinco vocales acentuadas. Seguimos, por ejemplo, con los símbolos del cirílico, después agregamos la ö del alemán y los demás símbolos diferentes que tenga cada idioma. Así, el alfabeto básico va creciendo y creciendo. Para darnos un margen hacia el futuro podemos suponer directamente que los símbolos de nuestro alfabeto son los números naturales, de esa manera nos queda espacio siempre disponible para poder adicionar nuevos alfabetos, nuevos símbolos como la @, o símbolos de lenguajes extraterrestres que nos lleguen en algún momento. Los números del 1 al 25 corresponden a los símbolos ortográficos de los libros de la Biblioteca de Babel, el número 26 es la A, el número 27 es la B, el número 526 será quizá un idiograma chino, etc.

Recuerdan ustedes que en
La biblioteca de Babel
Borges acota el número de páginas que puede tener cada libro: cuatrocientas diez páginas. Lo que nosotros nos preguntarnos ahora es de qué tipo será el infinito de todos los libros distintos de
cualquier
número de páginas que pueden escribirse con este alfabeto universal si admitimos palabras de
cualquier
longitud.

Usando este mismo cuadro puede probarse que este conjunto de libros
también es enumerable
. La idea es, por supuesto, disponer en la primera fila los libros de una sola página, en la segunda fila los libros de dos páginas, en la tercera fila los libros de tres páginas, etc. Y luego hacer la enumeración de acuerdo al recorrido diagonal de Cantor. Como todos los libros de la Biblioteca de Babel están también incluidos en nuestros anaqueles, podemos concluir que el conjunto de libros de la Biblioteca de Babel es enumerable. ¿Por qué tiene importancia esto para la comprensión del cuento de Borges?

En una nota al final del cuento, Borges escribe que una amiga le observó que toda la construcción de la biblioteca de Babel era superflua o excesiva (él usa la palabra
inútil
), porque en realidad todos los libros de la Biblioteca de Babel cabrían en un solo volumen. En un solo libro de infinitas páginas infinitamente delgadas, «un vademecum sedoso en el que cada hoja se desdoblaría en otras». La forma de hilvanar los distintos libros uno detrás del otro en este único volumen no sería más que este recorrido diagonal de Cantor.

Esta nota al pie que cierra el cuento es el germen de la idea que da después como resultado
El libro de arena
. Ésta es una forma de concebir muy matemática. El primer ejemplo,
La biblioteca de Babel
, es laborioso, profuso, por supuesto tiene otra riqueza y tiene otros significados, no estoy diciendo que se reduzca a esto. Pero Borges encuentra al final una idea más simple: que se pueden reunir todos los libros en un único volumen, con una cantidad infinita de páginas. Él dice: un libro tal que cada página sea divisible. Es el preanuncio del cuento
El libro de arena
. Quiero llamar la atención sobre este modo de reflexionar sobre sus propios textos para abstraer una idea esencial que repetirá o desdoblará en otros sitios. Es el primer ejemplo de un procedimiento general, una operación que recuerda los modos matemáticos y que estudiaremos con más detenimiento luego.

Examinemos ahora el segundo elemento de matemática en
El aleph
. Aparece en el momento en que Borges está por describir el Aleph, y dice: «cómo transmitir a los otros el infinito Aleph, que mi temerosa memoria apenas abarca».

Algo más digo aquí sobre el símbolo aleph. Me parece particularmente acertada la figura de un hombre con un brazo que toca la tierra y otro brazo que apunta al cielo, porque de algún modo la operación de contar es el intento humano de acceder a lo infinito. Es decir, el ser humano no puede, en su vida finita —en su «vidita», como diría Bioy Casares—, contar efectivamente todos los números, pero tiene una manera de generarlos, una manera de concebir y acceder a un número tan grande como sea necesario. A partir del descubrimiento de la escritura decimal, a partir de los diez dígitos, puede alcanzar números tan grandes como quiera. Aun limitado a su situación terrestre, todavía puede extender su brazo al cielo. Ése es el intento y la dificultad de contar. Algo similar escribe Borges: «¿cómo transmitir a los otros el infinito Aleph, que mi temerosa memoria apenas abarca? Los místicos, en análogo trance, prodigan los emblemas: para significar la divinidad un persa habla de un pájaro que de algún modo es todos los pájaros; Alanus de Insulis, de una esfera cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna». Un poco más abajo dice: «por lo demás, el problema central es irresoluble. La enumeración siquiera parcial de un conjunto infinito». Es decir, lo que él acomete es la descripción del Aleph, que es infinito. Y no lo puede agotar en la escritura, porque la escritura es secuencial, el lenguaje es «sucesivo», es el problema al que nos referíamos recién. Entonces tiene que dar una idea, una muestra, una lista de imágenes suficientemente convincente. Es la célebre enumeración de imágenes que viene a continuación y a la que nos referiremos luego.

Pero en realidad la segunda idea en la que me quiero detener ahora es esta esfera que aparece también en
La esfera de Pascal
. Una esfera cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna. Borges advierte aquí: «No en vano rememoro esas inconcebibles analogías». Es una analogía muy precisa que añade verosimilitud a la esferita que quiere describir. Para entender esta idea geométrica, que en principio parece un juego de palabras, pensemos primero en el plano, en vez de esferas pensemos en círculos. La idea sería la siguiente: todos los puntos del plano son abarcables por círculos crecientes cuyo centro no importa realmente donde esté, el centro puede estar en cualquier parte.

Hago centro en cualquier punto, no importa el punto, y considero círculos cada vez más grandes. A medida que aumento el radio esos círculos van ocupando toda la superficie del plano. En el ensayo
La esfera de Pascal
, cuando quiere precisar un poco más esta imagen, Borges escribe; «Calogero y Mondolfo razonan que intuyó una esfera infinita, o
infinitamente creciente
, y que las palabras que acabo de transmitir tienen un sentido dinámico». O sea, podemos concebir y reemplazar al plano por un círculo que crece y crece, porque todos los puntos del plano son abarcables por ese círculo. Ahora, en ese círculo que se expande indefinidamente, la circunferencia se perderá en el infinito. No podemos delimitar ninguna circunferencia. Ésta, creo yo, es la idea a la que se refiere. Haciendo un salto al infinito puede pensarse que todo el plano es un círculo con centro en cualquier punto y circunferencia en ninguna parte.

El mismo tipo de construcción vale si uno piensa en el espacio tridimensional. Es decir, una esfera pensada como un globo que crece infinitamente y va ocupando todos los puntos. En definitiva, el universo puede concebirse como una esfera infinitamente expandida. Ésta es, dicho sea de paso, la concepción actual del universo en la física contemporánea: una esferita de magnitud infinitesimal y masa infinitamente concentrada que en algún momento, en el
Big Bang
, se expandió en todas direcciones. ¿Por qué es interesante esta «inconcebible analogía»? Porque el Aleph es una esferita. Si uno logra ver a todo el universo también como una gran esfera, es mucho más plausible la idea de que todas las imágenes del universo puedan reproducirse en la esferita al pie de la escalera. Simplemente por contracción uno puede trasvasar todo el universo a la esfera pequeña. Éste es, por supuesto, sólo uno de los sentidos con que Borges utiliza esta analogía: el sentido al que prestamos particular atención en nuestro modo matemático con el que vemos «todo a lo grillo esta mañana». Pero, como dije antes, la matemática se desliza en los textos de Borges dentro de un contexto de referencias filosóficas y literarias: la idea del universo como esfera está vinculada a toda una tradición de misticismo, religiosa, cabalística, en fin, estas otras connotaciones están explicadas con más detalle en
La esfera de Pascal
.

La tercera idea es lo que yo llamaría la «paradoja de la magnificación» (técnicamente, es lo que se llama en lógica autorreferencia, pero la palabra «autorreferencia» tiene un significado distinto en literatura y no quisiera mezclarlos). Esta paradoja aparece en el momento de la enumeración, en que Borges se decide a dar la descripción parcial de las imágenes en el Aleph. Pero también ocurre en otras ficciones, cuando Borges construye mundos que son muy vastos, abarcatorios y que terminan por incluirlo a él mismo —o a los lectores— en su ámbito. En
El Aleph
esto puede verse aquí: «Vi la circulación de mi oscura sangre, vi el engranaje del amor y la modificación de la muerte. Vi el Aleph, desde todos los puntos. Vi en el Aleph la tierra y en la tierra otra vez el Aleph y en el Aleph la tierra. Vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara y sentí vértigo y lloré».

La postulación de objetos muy vastos, la magnificación, da lugar a curiosas paradojas y Borges debía conocer perfectamente la más famosa, debida a Bertrand Russell, que hizo tambalear la teoría de conjuntos y que fue una de las fisuras más importantes en los fundamentos de la matemática. La paradoja de Russell dice que no se puede postular la existencia de un conjunto que contenga a todos los conjuntos, es decir, que no puede postularse un Aleph de conjuntos. Esto se puede explicar rápidamente de este modo: observemos que los conjuntos más usuales en los que podemos pensar no son elementos de sí mismos. Por ejemplo, el conjunto de todos los números naturales no es ninguno de los números naturales. El conjunto de todos los árboles no es un árbol. Pero pensemos ahora por un momento en el conjunto de todos los conceptos. El conjunto de todos los conceptos sí es en sí mismo un concepto. O sea que, aunque un poco más rara, cabe la posibilidad de que un conjunto sea elemento de sí mismo. Si yo postulo el conjunto de todos los conjuntos, ése, por ser en sí mismo un conjunto, tendría que ser elemento de sí mismo.

En definitiva, hay conjuntos que son elementos de sí mismos, y otros que no. Consideremos ahora el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos.

X
= {
A
tal que
A
es un conjunto y
A
no está en
A
}

En
X
estará el conjunto de los números naturales, el conjunto de todos los árboles, el conjunto de las personas de esta sala, etc. Entonces nos preguntamos: ¿será
X
elemento de
X
? La respuesta debería ser sí o no. Ahora bien, si
X
fuera elemento de sí mismo tiene que verificar la propiedad dentro de la llave. O sea, que si
X
pertenece a
X
,
X
no está en
X
. Pero esto es absurdo. ¿Será entonces que
X
no es elemento de sí mismo? Pero si
X
no es elemento de sí mismo, verifica la propiedad dentro de la llave, por lo tanto tiene que estar en
X
, es decir, si
X
no es elemento de
X
,
X
tiene que pertenecer a
X
. Otra vez absurdo. Tenemos aquí un conjunto que está en una tierra de nadie, un conjunto que no es ni no es elemento de sí mismo.

Ésta es la paradoja que encontró Russell, cuando era joven, y le envió una carta a Gottlob Frege, uno de los próceres de la lógica, que estaba por entregar a prensa el último volumen de su gran tratado sobre los fundamentos de la matemática, basado justamente en la teoría de conjuntos. Frege agradeció la comunicación al final de su tratado con las siguientes patéticas palabras: «Un científico difícilmente pueda encontrarse en una situación más indeseable que ver desaparecer sus fundamentos justo cuando su trabajo ha terminado. Fui puesto en esta posición por una carta de Mr. Bertrand Russell cuando mi obra estaba por ir a imprenta». Con estas pocas líneas Russell no sólo dio por tierra el trabajo de diez o quince años de Frege, sino que provocó una de las crisis más profundas en los fundamentos de la matemática.