¿Es Dios un Matemático? (29 page)

Por desgracia, este astuto método de cuantificar el predicado hizo que De Morgan se viese metido en una desagradable disputa pública. El filósofo escocés William Hamilton (1788-1856) —al que no debe confundirse con el matemático irlandés William Rowan Hamilton— acusó a De Morgan de plagio, porque Hamilton había publicado unas ideas vagamente relacionadas (aunque mucho menos precisas) unos años antes que De Morgan. El ataque de Hamilton no era de extrañar si uno conocía su actitud general hacia la matemática y sus practicantes. Hamilton había declarado en cierta ocasión: «Un estudio excesivo de la matemática incapacita de forma absoluta la mente para las energías intelectuales requeridas por la filosofía y la vida». El chaparrón de cáusticas cartas que siguieron a la acusación de Hamilton tuvieron un resultado positivo, aunque en absoluto deliberado: ¡guiaron hacia la lógica al algebrista George Boole! Más adelante, Boole relataba en
The Mathematical Analysis of Logic.

En la primavera del presente año mi atención se dirigió a la cuestión que enfrentaba a sir W. Hamilton con el profesor De Morgan; y el interés que inspiró en mí me impulsó a reanudar el hilo de investigaciones anteriores que ya casi había olvidado. Mi impresión era que, aunque se podía ver la Lógica con referencia a la idea de cantidad, poseía también otro sistema de relaciones más profundo. Si era lícito mirarla desde fuera, conectada con las intuiciones del Espacio y del Tiempo a través del Número, era también lícito mirarla desde dentro, basada en hechos de un orden distinto que moran en la propia constitución de la Mente.

Estas humildes palabras describen los principios de lo que se convertiría en una obra fundamental de la lógica simbólica.

George Boole (figura 47) nació el 2 de noviembre de 1815 en la ciudad industrial de Lincoln, Inglaterra.
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Su padre, John Boole, zapatero en Lincoln, mostraba un gran interés por la matemática, y era un hábil artesano constructor de instrumentos ópticos. La madre de Boole, Mary Ann Joyce, era doncella de una dama de la sociedad. Con la atención del padre distraída de su oficio, el estado económico de la familia no era muy boyante. George asistió a una escuela infantil hasta los siete años de edad y, a continuación, a una escuela primaria, en donde tuvo como maestro a un tal John Walter Reeves. De niño, Boole estaba especialmente interesado por el latín, que un librero le enseñó, y por el griego, que aprendió por sí mismo.

A los catorce años de edad se las arregló para traducir un poema del poeta griego del siglo I a.C. Meleagro. El padre de George, lleno de orgullo, publicó la traducción en el
Herald
de Lincoln, lo que hizo que un maestro local publicase un artículo expresando su incredulidad. La pobreza obligó a George Boole a empezar a trabajar de profesor ayudante a la edad de dieciséis años. Durante los años posteriores, Boole dedicó su tiempo libre al estudio del francés, el italiano y el alemán. El conocimiento de estos idiomas modernos le fue muy útil, ya que le permitió dedicar su atención a las grandes obras de matemáticos como Lacroix, Laplace, Lagrange, Jacobi y otros. Sin embargo, Boole seguía sin poder recibir una formación matemática regular, de modo que continuó sus estudios en solitario mientras trabajaba de maestro para contribuir al sostén de sus padres y hermanos. Pero el talento matemático de este autodidacta empezaba a manifestarse, y empezó a publicar en el
Cambridge Mathematical Journal.

En 1842, Boole inició una correspondencia regular con De Morgan, a quien le enviaba sus artículos matemáticos para que éste los comentase. Su creciente reputación como matemático original y el apoyo de una recomendación de De Morgan hicieron que Boole recibiese la oferta de ocupar el puesto de profesor de matemática en el Queen's College, en Cork, Irlanda, en 1849, en donde enseñó durante el resto de su vida. En 1855, Boole se casó con Mary Everest (cuyo tío, el explorador George Everest, dio nombre a la montaña), diecisiete años más joven que él, y la pareja tuvo cinco hijas. Boole murió prematuramente a los cuarenta y nueve años de edad. Un frío día de invierno de 1854, Boole llegó empapado al colegio, pero insistió en dar sus clases con la ropa mojada. Al llegar a su casa, su mujer contribuyó a empeorar su estado al mojar la cama con cubos de agua, siguiendo una superstición según la cual la cura debe, en cierto modo, replicar la causa de la enfermedad. Boole contrajo una neumonía y murió el 8 de diciembre de 1864. Bertrand Russell no ocultaba su admiración por esta persona de formación autodidacta: «La matemática pura fue descubierta por Boole, en su obra titulada
Las leyes del pensamiento
(1854) […] En realidad, su libro trataba de lógica formal, que es lo mismo que decir matemática». Sorprendentemente, tanto Mary Boole (1832-1916) como las cinco hijas del matrimonio alcanzaron una fama considerable en distintos campos, desde la educación a la química.

Boole publicó
El análisis matemático de la lógica
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en 1847 y
Las leyes del pensamiento
en 1854 (el título completo era
Una investigación de las leyes del pensamiento en las que se basan las teorías matemáticas de la lógica y las probabilidades).
Se trataba de verdaderas obras maestras, el primer paso decisivo para poner de manifiesto el paralelismo entre las operaciones aritméticas y las lógicas. Literalmente, Boole transformó la lógica en un tipo de álgebra (a la que se llamaría álgebra de Boole) y extendió el análisis de la lógica incluso al razonamiento probabilístico. En palabras del propio Boole:

El propósito de este tratado
[Las leyes del pensamiento]
es investigar las leyes fundamentales de las operaciones de la mente mediante las que se lleva a cabo el razonamiento, expresarlas en el lenguaje simbólico del Cálculo y, sobre estos cimientos, establecer la ciencia de la Lógica y construir su método; hacer de este método la base de un método general para la aplicación de la doctrina matemática de las Probabilidades y, finalmente, cosechar de los diversos elementos de verdad que estas investigaciones saquen a la luz algunos indicios probables acerca de la naturaleza y la constitución de la mente humana.
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El cálculo de Boole se podía interpretar como aplicado a las relaciones entre clases (conjuntos de objetos o miembros) o dentro de la lógica de proposiciones. Por ejemplo, si
x
e
y
fuesen clases, una relación como
x = y
significaría que dos clases tienen exactamente los mismos miembros, aunque las definiciones de ambas fuesen distintas. Tomemos el caso de un colegio en el que todos los niños miden menos de dos metros; entonces, las dos clases definidas como:
x =
«todos los niños del colegio» e
y =
«todos los niños del colegio que miden menos de dos metros» son iguales. Si
x
e
y
representasen proposiciones, entonces
x = y
significaría que ambas proposiciones son equivalentes (que una es verdadera si, y sólo si, la otra también lo es). Por ejemplo, las proposiciones:
x =
«John Barrymore era hermano de Ethel Barrymore» e
y =
«Ethel Barrymore era hermana de John Barrymore» son iguales. El símbolo
«x • y»
representaba la parte común de las dos clases
x
e
y
(los miembros que pertenecen tanto a
x
como a
y)
o la conjunción de las proposiciones
x
e
y
(esto es, «
x
e
y»).
Por ejemplo, si
x
fuese la clase de todos los tontos del pueblo e
y
fuese la clase de todas las cosas con pelo negro, entonces
x • y
sería la clase de todos los tontos del pueblo con el pelo negro. Para las proposiciones
x
e
y,
la conjunción
x - y (se
puede también utilizar la palabra «y») significa que ambas proposiciones deben ser ciertas. Por ejemplo, cuando la Dirección General de Tráfico dice que «debes pasar una prueba de visión periférica y un examen de conducción», significa que ambos requisitos deben cumplirse. Para Boole, el símbolo
«x + y»
representaba (para dos clases sin miembros comunes) la clase que constaba de los miembros de
x
y de los miembros de
y
. En el caso de proposiciones,
«x + y»
correspondía a «o
x
o
y,
pero no ambas». Por ejemplo, si
x
es la proposición «las clavijas son cuadradas» e
y
es «las clavijas son redondas», entonces
x + y
es «las clavijas son o cuadradas o redondas». De forma similar,
«x — y»
representaba la clase de los miembros de
x
que no eran miembros de
y, o
la proposición
«x
pero no
y».
Boole denotaba la clase universal (que contenía todos los miembros posibles de los que se estaba hablando) como 1, y la clase vacía o nula (que no contenía ningún miembro) como 0. Obsérvese que la clase nula (o conjunto nulo) no es en absoluto lo mismo que el número cero; este último es simplemente el número de miembros de la clase nula. Obsérvese también que la clase nula no es lo mismo que nada, porque una clase que no contiene nada sigue siendo una clase. Por ejemplo, si todos los periódicos de Albania están escritos en albanés, la clase de todos los periódicos de Albania escritos en albanés se denotaría con 1 en la notación de Boole, mientras que la clase de todos los periódicos de Albania escritos en español se denotaría con 0. En el caso de proposiciones, 1 representa la proposición verdadera estándar (por ejemplo, los humanos son mortales) y 0, la proposición falsa estándar (por ejemplo, los humanos son inmortales), respectivamente.

Utilizando estas convenciones, Boole formuló un conjunto de «axiomas» que definían el álgebra de la lógica. Por ejemplo, se puede comprobar que, utilizando las definiciones anteriores, la proposición obviamente cierta «todo es o xo no
x»
se podría escribir así en el álgebra de Boole: x+ (1 - x) = 1, que es también cierto en el álgebra ordinaria. De forma similar, la afirmación de que la parte común entre cualquier clase y la clase vacía es la clase vacía se representaba mediante 0 •
x =
0, que significaba también que la conjunción de cualquier proposición con una falsa es falsa. Por ejemplo, la proposición «el azúcar es dulce y los humanos son inmortales» genera una proposición falsa, a pesar de que la primera parte es verdadera. Obsérvese de nuevo que esta «igualdad» en el álgebra de Boole sigue siendo cierta con números algebraicos normales.

Para demostrar la potencia de sus métodos, Boole intentó utilizar sus símbolos lógicos en cualquier asunto que considerase importante. Sin ir más lejos, analizó incluso los argumentos de los filósofos Samuel Clarke y Baruch Spinoza sobre la existencia y atributos de Dios. Sin embargo, su conclusión fue bastante pesimista: «Opino que no es posible examinar los argumentos de Clarke y Spinoza sin llegar a la profunda convicción de la futilidad de todo empeño de establecer, completamente a priori, la existencia de un Ser Infinito, Sus atributos y Su relación con el Universo». A pesar de la sensatez de la conclusión de Boole,
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al parecer no todas las personas quedaron convencidas de la futilidad de estos empeños, pues a día de hoy aún siguen emergiendo versiones actualizadas de los argumentos ontológicos para la existencia de Dios.

Boole fue capaz de domar matemáticamente los conectores lógicos
y
, o,
si… entonces
y
no,
que actualmente se encuentran en el corazón de las operaciones que realizan los ordenadores y diversos circuitos de conmutación. Por tanto, muchos le consideran uno de los «profetas» que dieron paso a la era digital. Sin embargo, debido a su naturaleza pionera, el álgebra de Boole tenía sus limitaciones. En primer lugar, los escritos de Boole son algo ambiguos y de difícil comprensión debido a que la notación utilizada se parecía demasiado a la del álgebra ordinaria. En segundo lugar, Boole confundió la distinción entre proposiciones (por ejemplo, Aristóteles es mortal), funciones proposicionales o predicados (por ejemplo,
x
es mortal) y afirmaciones cuantificadas (por ejemplo, para todo
x, x
es mortal). Finalmente, Frege y Russell afirmaron más adelante que el álgebra deriva de la lógica, de modo que se podría decir que tenía más sentido construir el álgebra sobre la base de la lógica que el proceso contrario.

Sin embargo, otro de los aspectos del trabajo de Boole estaba a punto de dar abundante fruto. Se trataba de la comprensión de la proximidad entre la lógica y los conceptos de clases y conjuntos. Recordemos que el álgebra de Boole funcionaba tanto para clases como para proposiciones lógicas. En efecto, si todos los miembros de un conjunto
X
son también miembros de
Y
(
X
es un subconjunto de
Y)
, esto se puede expresar con una
implicación
lógica de la forma «Si
X
entonces
Y».
Por ejemplo, el hecho de que el conjunto de todos los caballos sea un subconjunto del conjunto de todos los cuadrúpedos se puede reescribir en forma de proposición lógica: «Si
x
es un caballo entonces es un cuadrúpedo».