El universo elegante (45 page)

Figura 10.2
Partículas puntuales moviéndose sobre un cilindro.

En vez de eso, nuestro interés actual se centra en otra diferencia entre el movimiento de las partículas puntuales y el de las cuerdas, una diferencia que depende directamente de la
forma
del espacio a través del cual se esté moviendo la cuerda. Dado que ésta es un objeto alargado, hay otra configuración posible, además de las ya mencionadas: puede
envolver
—haciendo un lazo, por decirlo así— la parte circular del universo manguera, como se muestra en la Figura 10.3 (b).
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La cuerda continuará deslizándose y oscilando, pero lo hará en esta configuración ampliada. De hecho, la cuerda puede envolver la parte circular del espacio cualquier número de veces, como también se muestra en la Figura 10.3 (b), y de nuevo ejecutará un movimiento oscilante mientras se desliza. Cuando una cuerda está en esa configuración envolvente, decimos que se mueve en un
modo de bobinado
. Claramente, estar en un modo de bobinado es una posibilidad inherente a las cuerdas. No hay contrapartida en el caso de las partículas puntuales. Ahora intentaremos comprender las implicaciones que tiene en la propia cuerda este tipo de movimiento de cuerdas cualitativamente nuevo, así como las propiedades geométricas de la dimensión que envuelve.

Figura 10.3
Las cuerdas pueden moverse sobre un cilindro de dos maneras diferentes: en configuraciones «no envolventes» o en configuraciones «envolventes».

A través de nuestra discusión anterior sobre el movimiento de las cuerdas, nos hemos centrado en las cuerdas no envolventes. Las cuerdas que envuelven un componente circular del espacio comparten casi todas ellas las mismas propiedades que las cuerdas que hemos estudiado. Sus oscilaciones, al igual que las oscilaciones de las no envolventes, contribuyen fuertemente a las propiedades observadas en ellas. La diferencia esencial es que una cuerda enrollada tiene una masa
mínima
, determinada por el
tamaño
de la dimensión circular y el número de veces que envuelve a ésta. El movimiento oscilatorio de las cuerdas determina una contribución superior a este mínimo.

No es difícil comprender el origen de esta masa mínima. Una cuerda enrollada tiene una longitud mínima determinada por la circunferencia de la dimensión circular y el número de veces que la cuerda la circunda. La longitud mínima de una cuerda determina su masa mínima: cuanto más larga es, mayor es la masa, puesto que hay más cantidad de cuerda. Dado que la longitud de una circunferencia es proporcional a su radio, las masas mínimas en el modo de enrollamiento son proporcionales al radio del círculo que envuelve la cuerda. Utilizando la fórmula de Einstein
E = mc
²
, donde se relaciona la masa y la energía, podemos decir también que la energía asociada a una cuerda envolvente es proporcional al radio de la dimensión circular. (Las cuerdas no envolventes tienen también una longitud mínima diminuta, ya que, si no la tuvieran, estaríamos de nuevo en el ámbito de las partículas puntuales. El mismo razonamiento podría conducir a la conclusión de que incluso las cuerdas no envolventes tienen una masa mínima minúscula pero no nula. En cierto sentido esto es verdad, pero los efectos mecánico-cuánticos descritos en el capítulo 6 —recuérdese de nuevo
El precio justo
— pueden cancelar exactamente esta contribución a la masa. Recordemos que así es como las cuerdas no envolventes pueden producir, por ejemplo, el fotón, el gravitón, y las otras partículas de masa nula o casi nula. Las cuerdas envolventes son distintas en este aspecto).

¿Cómo afecta la existencia de configuraciones de cuerdas envolventes a las propiedades
geométricas
de la dimensión alrededor de la cual se enrollan las cuerdas? La respuesta, que los físicos japoneses Keiji Kikkawa y Masami Yamasaki fueron los primeros en descubrir en 1984, es extraña y llama la atención.

Pensemos en las últimas etapas cataclísmicas de nuestra variante del
big crunch
en el universo de la manguera. Cuando el radio de la dimensión circular se reduce a la longitud de Planck y, según el patrón de la relatividad general, continúa reduciéndose hasta longitudes aún menores, la teoría de cuerdas insiste en una reinterpretación radical de lo que sucede realmente. La teoría de cuerdas afirma que ¡
todos
aquellos procesos físicos que se producen en el universo de la manguera en los que el radio de la dimensión circular sea menor que la longitud de Planck y siga descendiendo, son absolutamente idénticos a los procesos físicos en los que la dimensión circular es mayor que la longitud de Planck y va en aumento! Esto significa que cuando la dimensión circular intenta reducirse radicalmente pasando por la longitud de Planck y va hacia tamaños aún menores, la teoría de cuerdas hace inútiles estos intentos, volviendo las tornas en el aspecto geométrico. La teoría de cuerdas demuestra que este proceso se puede expresar de otra forma —exactamente reinterpretar— diciendo que la dimensión circular se reduce hasta la longitud de Planck, para luego comenzar a expandirse. La teoría de cuerdas reescribe las leyes de la geometría de las distancias pequeñas, de tal modo que lo que previamente parecía ser un colapso cósmico total se ve ahora como un
salto
cósmico. La dimensión circular puede reducirse hasta la longitud de Planck, pero, debido a los modos de enrollamiento, los intentos de seguir reduciéndose dan como resultado real una expansión. Veamos por qué.

Algunas de las ideas que se plantean en esta sección y en las inmediatamente siguientes son bastante sutiles, por lo que le recomendamos que no se desanime si tiene problemas para seguir los pasos de la explicación, especialmente si los problemas surgen en una sola lectura.

La nueva posibilidad de que existan configuraciones de cuerdas arrolladas implica que la energía de una cuerda que se encuentre en el universo de la manguera proviene de
dos
fuentes: el movimiento vibratorio y la energía de enrollamiento. Según el legado de Kaluza y Klein, cada una de ellas depende de la geometría de la manguera, es decir, del radio de su componente circular arrollada, pero con un giro claramente propio de una cuerda, ya que las partículas puntuales no pueden enrollarse alrededor de las dimensiones. Por consiguiente, nuestra primera tarea será determinar con exactitud el modo en que las contribuciones que el enrollamiento y la vibración realizan a la energía de una cuerda dependen del tamaño de su dimensión circular. Para esto, se ha visto que es conveniente dividir el movimiento vibratorio de las cuerdas en dos categorías: vibraciones
uniformes
y
ordinarias
. Las vibraciones ordinarias se refieren a las oscilaciones usuales que ya hemos comentado repetidamente, tales como las que se ilustran en la Figura 6.2; las vibraciones uniformes se refieren a un movimiento aún más sencillo: el movimiento global de la cuerda cuando se desliza de una posición a otra sin cambiar su forma. Todo movimiento de una cuerda es una combinación de deslizamiento y oscilación —de vibraciones uniformes y ordinarias— pero para esta explicación es más fácil separarlas de esta manera. De hecho, las vibraciones ordinarias no desempeñan un papel principal en nuestro razonamiento, por lo que no tendremos en cuenta sus efectos hasta haber terminado de plantear lo esencial de nuestra argumentación.

He aquí las dos observaciones esenciales. Primero, las excitaciones vibratorias uniformes de una cuerda tienen energías que son
inversamente
proporcionales al radio de su dimensión circular. Esto es una consecuencia directa del principio de incertidumbre de la mecánica cuántica: un radio menor deja a una cuerda más estrictamente confinada y por consiguiente, debido a la claustrofobia mecánico-cuántica, aumenta la cantidad de energía en su movimiento. Así, cuando el radio de la dimensión circular disminuye, la energía cinética de la cuerda aumenta necesariamente, lo cual es la característica determinante de la proporcionalidad inversa. Segundo, como vimos en la sección anterior, las energías del modo de enrollamiento son
directamente
—no inversamente— proporcionales al radio. Recordemos que esto se debe a la longitud mínima de las cuerdas enrolladas y, por lo tanto, su energía mínima es proporcional al radio. Estas dos observaciones establecen que valores grandes del radio implican grandes energías de enrollamiento y pequeñas energías de vibración, mientras que valores pequeños del radio implican energías de enrollamiento pequeñas y energías de vibración grandes.

Esto nos lleva a un hecho clave: para cualquier radio circular grande del universo de la manguera, existe el correspondiente universo con radio circular pequeño para el cual las energías de enrollamiento de las cuerdas en el primer universo igualan a las energías de vibración de las cuerdas en el último, y las energías de vibración de las cuerdas en el primero igualan a las energías de enrollamiento de las cuerdas en el último. Dado que las propiedades físicas son sensibles a la energía
total
de una configuración de cuerdas —y no a como se divide la energía entre contribuciones de vibración y de enrollamiento—
no hay ninguna diferencia física
entre estas formas
geométricamente distintas
que puede adoptar el universo de la manguera. Y así, de una manera bastante extraña, la teoría de cuerdas afirma que no hay ninguna diferencia entre un universo creado en una manguera «gorda» y uno creado en una manguera «delgada».

Es un acertijo cósmico de apuestas, algo parecido a lo que haría usted, un inversor inteligente, si tuviera que enfrentarse al siguiente rompecabezas. Suponga que se entera de que los destinos de dos clases de acciones que se cotizan en Wall Street —por ejemplo, una empresa que fabrica aparatos de gimnasia y otra que fabrica válvulas de bypass para el corazón— están estrechamente ligados. Hoy cerraron ambos la cotización a 1 dólar por acción, y usted se entera a través de una fuente fiable de información de que, si las acciones de una de las empresas suben, las otras bajarán, y viceversa. Además su fuente de información —que es totalmente fiable (pero cuyo asesoramiento podría ir más allá de los límites de lo legal)— le dice que los precios de cierre del día siguiente estarán, con absoluta certeza, en una relación inversa el uno respecto al otro. Es decir, si una de las empresas cierra a 2 dólares por acción, la otra cerrará a medio dólar (50 centavos) por acción; si una de las empresas cierra a 10 dólares por acción, la otra cerrará a un décimo de dólar (10 centavos) por acción, y así siempre. Pero lo que no le puede decir su fuente de información es qué empresa cerrará la cotización al precio alto y cuál cerrará al precio bajo. ¿Qué hará usted?

Bueno, usted invierte todo su dinero en la bolsa, dividiéndolo a partes iguales entre las acciones de estas dos empresas. Como podrá comprobar fácilmente calculando unos cuantos ejemplos, independientemente de lo que suceda al día siguiente, su inversión no perderá valor. En el peor de los casos puede quedarse igual (si ambas empresas vuelven a cerrar a 1 dólar), pero cualquier movimiento del precio de las acciones —coherentemente con su información privilegiada— aumentará su capital. Por ejemplo, si la empresa de aparatos de gimnasia cierra a 4 dólares y la empresa de las válvulas cierra a un cuarto de dólar (25 centavos), su valor en conjunto es 4,25 dólares (por cada par de acciones), lo cual mejora los 2 dólares del día anterior. Además, desde el punto de vista del valor neto, no importa lo más mínimo si la empresa de aparatos de gimnasia cierra al alza y la empresa de válvulas para el corazón cierra con pérdidas, o viceversa. Si usted se fija sólo en la cantidad total de dinero, estas dos circunstancias distintas son financieramente indistinguibles.

La situación en la teoría de cuerdas es análoga en cuanto a que la energía en las configuraciones de cuerdas proviene de dos fuentes —vibraciones y enrollamientos— cuyas contribuciones a la energía total de una cuerda son generalmente diferentes. Pero, como veremos con mayor detalle más adelante, ciertos pares de circunstancias geométricas distintas —que conducen a una situación de alta energía de enrollado/baja energía de vibración o baja energía de enrollado/alta energía de vibración— son
físicamente
indistinguibles. Además, a diferencia de lo que sucede en la analogía bursátil para la cual aquellas consideraciones que vayan más allá del capital total pueden distinguir entre los dos tipos de acciones, no existe absolutamente ninguna distinción entre las dos configuraciones de las cuerdas.