El tío Petros y la conjetura de Goldbach (8 page)

Sin embargo, a pesar de todo, la idea de quedarse en Inglaterra le producía aprensión.

Si permanecía en Cambridge seguiría un camino previsible. Realizaría buenos trabajos, quizás excepcionales, pero sus progresos estarían condicionados por Hardy y Littlewood. Los problemas de ellos serían los suyos y, peor aun, la fama de ellos inevitablemente eclipsaría la suya. Si con el tiempo conseguían probar la hipótesis de Riemann (y Petros tenía la esperanza de que así fuera), sería una hazaña importante, una conquista que sacudiría al mundo; pero ¿sería suya? De hecho, ¿recibiría siquiera la tercera parte del crédito por ella? ¿No era más probable que la fama de sus dos ilustres colegas ensombreciera su participación en la empresa?

Cualquiera que afirme que los científicos, incluso los más puros de los puros, los más abstractos y brillantes matemáticos, trabajan motivados exclusivamente por la Búsqueda de la Verdad en aras de la humanidad, o bien no sabe de lo que habla o miente con descaro. Aunque es posible que los miembros con mayores inclinaciones espirituales de la comunidad científica sean indiferentes a las ganancias materiales, no hay uno solo entre ellos que no esté guiado por la ambición y un fuerte afán competitivo. (Naturalmente, en el campo de las grandes hazañas matemáticas el número de contrincantes es limitado; de hecho, cuanto mayor sea la hazaña, más limitado es. Dado que los rivales para el triunfo son unos pocos elegidos, la flor y nata, la competencia se convierte en una auténtica gigantomaquia, una lucha entre gigantes). Aunque al embarcarse en una importante investigación el matemático declare que su intención es descubrir la Verdad, la auténtica materia prima de sus sueños es la Gloria.

Mi tío no era una excepción, y lo reconoció con absoluta franqueza cuando me contó su historia. Después de la estancia en Berlín y el desengaño con su «amada Isolda», había buscado en las matemáticas un éxito rotundo, casi trascendental, una conquista que le diera fama internacional y «esperaba» pusiera a sus pies a la despiadada
Mädchen
. Pero para que ese triunfo fuera completo tenía que ser exclusivamente suyo, no parcelado y dividido en dos o tres.

Otro factor en contra de su estancia en Cambridge era el tiempo. Las matemáticas son una actividad de hombres jóvenes. Se trata de una de las pocas disciplinas humanas (en este sentido muy parecida al deporte) en que la juventud es un requisito indispensable para destacar. Petros, como todos los matemáticos jóvenes, conocía las deprimentes estadísticas: en toda la historia de esa ciencia eran contadísimas las personas que habían hecho un descubrimiento importante después de los treinta y cinco o cuarenta años. Riemann había muerto a los treinta y nueve; Niels Henrik Abel, a los veintisiete, y Evariste Galois a la trágica edad de veinte. Sin embargo, sus nombres estaban grabados en oro en las páginas de la historia de las matemáticas: la función zeta de Riemann, las integrales abelianas o los grupos de Galois eran un legado eterno para los futuros matemáticos. Y aunque Euler y Gauss produjeron teoremas a edades avanzadas, hicieron sus descubrimientos más importantes en la primera juventud. En cualquier otro terreno, a los veinticuatro años Petros habría sido un principiante con muchos años de oportunidades creativas por delante. En el de las matemáticas, sin embargo, ya estaba en el punto culminante de su potencialidad.

Calculaba que, como mucho, le quedaban diez años para sorprender a la humanidad (y a su «amada Isolda») con una hazaña magnífica, colosal. Pasado ese tiempo, su fuerza comenzaría a desvanecerse. Con un poco de suerte, la técnica y los conocimientos sobrevivirían, pero la chispa imprescindible para encender los majestuosos fuegos artificiales, la brillantez creativa y el espíritu emprendedor necesarios para hacer un descubrimiento verdaderamente grande (el sueño de probar la conjetura de Goldbach cada vez estaba más presente en sus pensamientos) se debilitarían, si es que no desaparecían por completo.

No tardó mucho en decidir que Hardy y Littlewood tendrían que continuar su camino solos.

A partir de ese momento no podría permitirse perder un solo día. Sus años más productivos estaban ante él, impulsándolo irresistiblemente a continuar. Debía ponerse a trabajar en su problema de inmediato. ¿Y cuál sería ese problema?

Hasta el momento sólo había considerado los tres grandes interrogantes que unos años antes Carathéodory había mencionado al pasar; ninguno más pequeño satisfaría su ambición. De ellos, la hipótesis de Riemann ya estaba en manos de Hardy y Littlewood, y el
savoir-faire
científico y la prudencia sugerían que lo dejara allí. En cuanto al último teorema de Fermat, los métodos con que se lo abordaba tradicionalmente resultaban demasiado algebraicos para su gusto. En consecuencia, la elección era bastante simple. El vehículo mediante el cual haría realidad sus sueños de fama e inmortalidad sería nada más y nada menos que la aparentemente humilde conjetura de Goldbach.

♦ ♦

La oferta de la cátedra de Análisis en la Universidad de Múnich había llegado un poco antes, en el momento más oportuno. Era un puesto ideal. El cargo de catedrático, una retribución indirecta por la utilidad del «método Papachristos» para el ejército del káiser, no exigiría a Petros que perdiese demasiadas horas impartiendo clases y le permitiría independizarse de su padre en caso de que éste intentara engatusarlo para que volviera a Grecia y al negocio familiar. En Múnich estaría prácticamente libre de obligaciones irrelevantes. Las pocas horas de clase no constituirían una intrusión demasiado importante en su tiempo personal; por el contrario, serían un vínculo constante y tangible con las técnicas analíticas que emplearía en su investigación.

Lo último que deseaba Petros era que otros se entrometieran en su problema. Al marcharse de Cambridge, deliberadamente había cubierto sus huellas con una estela de humo. No sólo no reveló a Hardy y a Littlewood que se proponía trabajar en la conjetura de Goldbach, sino que les indujo a creer que continuaría dedicándose a su amada hipótesis de Riemann. En este sentido, Múnich también era ideal: su facultad de Matemáticas no era particularmente famosa, como la de Berlín o la casi legendaria de Gotinga, y en consecuencia estaría prudentemente lejos de los grandes centros de chismorreo y curiosidad matemáticos.

En el verano de 1919, Petros se instaló en un piso de la segunda planta (creía que el exceso de luz era incompatible con la concentración absoluta) de un edificio situado cerca de la universidad. Conoció a sus nuevos colegas de la facultad de Matemáticas y organizó el programa de clases con sus ayudantes, casi todos mayores que él. Luego preparó su lugar de trabajo en casa, donde las distracciones serían mínimas. En términos inequívocos ordenó a su ama de llaves, una mujer judía de mediana edad que había quedado viuda durante la guerra, que una vez que entrara en su estudio no debería molestarlo por ninguna razón.

♦ ♦

A pesar de que habían pasado más de cuarenta años, mi tío recordaba con excepcional claridad el día en que había comenzado su investigación.

El sol aún no había salido cuando se sentó al escritorio, tomó su gruesa estilográfica y escribió en una hoja de papel blanca y nueva:

ENUNCIADO: Todo entero par mayor que 2 es igual a la suma de dos primos.

PRUEBA: Supongamos que el enunciado anterior es falso. Luego, existe un entero
n
tal que 2
n
no puede expresarse como la suma de dos números primos; por ejemplo, para todo primo
p
< 2
n
, 2
n
-
p
es compuesto…

Después de unos meses de arduo trabajo, empezó a hacerse una idea de las auténticas dimensiones del problema y descubrió los atolladeros más obvios. Ahora podría planear una estrategia básica para su método e identificar algunos de los resultados intermedios que necesitaba demostrar. Siguiendo con la comparación militar, se refirió a éstos como «las colinas de importancia estratégica que debería tomar antes de organizar el ataque final a la propia conjetura».

Naturalmente, su enfoque estaba basado en el método analítico.

♦ ♦

Tanto en su versión algebraica como en la analítica, la teoría de números tiene el mismo objetivo: estudiar las propiedades de los números enteros o positivos (1, 2, 3, 4, 5, etcétera), así como sus interrelaciones. Igual que la investigación física consiste principalmente en el estudio de las partículas elementales de la materia, muchos de los problemas esenciales de la aritmética avanzada se reducen a aquellos de los primos (números enteros que sólo pueden dividirse por 1 y por sí mismos, como 2, 3, 5, 7, 11,…), el irreducible cuanto del sistema numérico.

Los antiguos griegos, y después de ellos los grandes matemáticos de la Ilustración europea, como Pierre de Fermat, Leonhard Euler y Carl-Friedrich Gauss, habían descubierto una variedad de teoremas interesantes relacionados con los primos (con anterioridad mencionamos la prueba de Euclides de su infinitud). Sin embargo, hasta mediados del siglo XIX, las verdades más fundamentales sobre ellos permanecieron fuera del alcance de los matemáticos.

Las principales eran dos: su distribución (es decir, la cantidad de números primos menores que un entero dado
n
) y las pautas de su sucesión, la escurridiza fórmula mediante la cual, partiendo de un número primo dado
p
_n
, uno podía determinar el siguiente,
p
_n+1
. A menudo (quizás infinitamente a menudo, según una hipótesis), los números primos sólo están separados por dos enteros, en pares como 5 y 7, 11 y 13, 41 y 43 ó 9857 y 9859. Sin embargo, en otros casos, dos números primos consecutivos pueden estar separados por centenares de miles de millones de enteros no-primos; de hecho, es sumamente fácil demostrar que para cualquier entero dado
k
, es posible encontrar una sucesión de enteros
k
que no contiene un solo número primo
^[6]
.

La aparente ausencia de un principio establecido de organización en la distribución o sucesión de los números primos había traído de cabeza a los matemáticos durante siglos y proporcionado gran parte de su atractivo a la teoría de números. En efecto, era un gran misterio, digno de la más elevada inteligencia: puesto que los números primos son los ladrillos de los enteros y los enteros son la base de nuestro entendimiento lógico del cosmos, ¿cómo es posible que su forma no esté determinada por una ley? ¿Por qué la «divina geometría» no resulta obvia en este caso?

La teoría analítica de los números nació en 1837, con la sorprendente prueba de Dirichlet de la infinitud de los primos en las progresiones aritméticas. Sin embargo, no llegó a su punto culminante hasta finales del siglo XIX. Unos años antes que Dirichlet, Carl-Friedrich Gauss había hecho una buena tentativa con su fórmula asintótica (es decir, una aproximación que es más precisa a medida que
n
crece) de los números primos inferiores a un entero determinado
n
. Sin embargo, ni él ni nadie después de él había sugerido siquiera una prueba. Luego, en 1859, Bernhard Riemann introdujo una suma infinita en el plano de los números complejos
^[7]
, denominada desde entonces «función zeta de Riemann», que prometía ser una herramienta nueva extremadamente útil. Sin embargo, para emplearla con eficacia, los teóricos de números debían abandonar sus técnicas algebraicas tradicionales (comúnmente llamadas «elementales») y recurrir a los métodos del análisis complejo; es decir, el cálculo infinitesimal aplicado al plano de los números complejos.

Pocas décadas después, cuando Hadamard y De la Vallée-Pousin consiguieron demostrar la fórmula asintótica de Gauss empleando la función ζ de Riemann (un resultado conocido desde entonces como «teorema de los números primos») el método analítico pareció de pronto convertirse en la llave mágica para penetrar en los secretos más recónditos de la teoría de números.

♦ ♦

Fue en este momento de auge del método analítico cuando el tío Petros empezó a trabajar en la conjetura de Goldbach.

Después de pasar los primeros meses familiarizándose con las dimensiones del problema, decidió utilizar la teoría de particiones (las distintas formas de expresar un entero como suma), otra aplicación del método analítico. Aparte del principal teorema en este campo, concebido por Hardy y Ramanujan, existía una hipótesis del segundo (otro de sus célebres «pálpitos»). Petros tenía la esperanza de que esa hipótesis, si conseguía probarla, fuera un paso decisivo hacia la resolución de la conjetura de Goldbach.

Escribió a Littlewood, preguntando con la mayor discreción posible (y con la excusa del supuesto «interés de un colega» en el tema) si había nuevos descubrimientos al respecto. Littlewood respondió que no y le envió el último libro de Hardy,
Algunos problemas célebres de la Teoría de Números
. En él, había una especie de prueba de lo que se conoce como la segunda (o la otra) conjetura de Goldbach
^[8]
. Esta supuesta prueba, no obstante, tenía una laguna fundamental: su validez dependía de la hipótesis (aún no demostrada) de Riemann.

Al leer esto, Petros esbozó una sonrisa de superioridad. ¡Hardy debía de estar muy desesperado para publicar resultados basados en premisas sin confirmar! Ni siquiera mencionaba la principal conjetura de Goldbach —«la» conjetura, en opinión de Petros—, de modo que su problema estaba seguro.

Petros condujo su investigación en absoluto secreto, y cuanto más profundizaba en la
terra incognita
delimitada por la conjetura, más concienzudamente cubría sus huellas. A aquellos colegas que se mostraban curiosos les daba la misma respuesta engañosa que había usado con Hardy y Littlewood: continuaba con el trabajo que había hecho con ellos en Cambridge, investigando la hipótesis de Riemann. Con el tiempo, su cautela comenzó a rayar en la paranoia. Para evitar que sus colegas sacaran conclusiones sobre la base de los libros que retiraba de la biblioteca, buscó la manera de disfrazar sus pedidos. Protegía la obra que le interesaba incluyéndola en una lista de tres o cuatro títulos irrelevantes, o pedía un artículo en una revista científica con el único fin de hacerse con el ejemplar que contenía un artículo diferente, el que verdaderamente le interesaba y que leería fuera de la vista de los curiosos, en la intimidad de su estudio.